Question

20．已知函數(shù)f（x）=x-$\frac{a}{x}$（x＞0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（2，1）．
（1）求a的值；
（2）判斷f（x）的單調(diào)性：

Answer 1

分析 （1）把點(diǎn)（2，1）代入f（x）中，即可求出a的值；
（2）根據(jù)單調(diào)性的定義即可證明函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=x-$\frac{a}{x}$（x＞0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（2，1），
∴f（2）=2-$\frac{a}{2}$=1，
解得a=2；
（2）函數(shù)f（x）=x-$\frac{2}{x}$在區(qū)間（0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，
證明：任取x₁、x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=（x₁-$\frac{2}{{x}_{1}}$）-（x₂-$\frac{2}{{x}_{2}}$）
=（x₁-x₂）+（$\frac{2}{{x}_{2}}$-$\frac{2}{{x}_{1}}$）
=（x₁-x₂）（1+$\frac{2}{{{x}_{1}x}_{2}}$）；
∵0＜x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，1+$\frac{2}{{{x}_{1}x}_{2}}$＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）是（0，+∞）上的單調(diào)增函數(shù)．

點(diǎn)評 本題考查了求函數(shù)的解析式與利用定義證明函數(shù)的單調(diào)性問題，是基礎(chǔ)題目．