Question

已知數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足a₁=1，na_n=（n+1）a_n-1（n≥2，且n∈N^*），則

a 2 n +14

n

取最小值的n值為（　�。�

• A、2
• B、3
• C、4
• D、5

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由已知得

an

an-1

=

n+1

n

，由此利用累乘法求出a_n=n+1（n≥2），從而

a 2 n +14

n

=n+

15

n

+2，令f（x）=x+

15

x

+2，f（x）在（0，

15

）上單調(diào)遞減，在（

15

，+∞）上單調(diào)遞增．由此能求出當(dāng)n=4時(shí)，

a 2 n +14

n

取最小值取最小值．

解答： 解：∵na_n=（n+1）a_n-1，∴

an

an-1

=

n+1

n

，
∴

a2

a1

•

a3

a2

•…•

an

an-1

=

2

1

•

3

2

•…•

n+1

n

=n+1，
即a_n=n+1（n≥2），∴

a 2 n +14

n

=n+

15

n

+2，
令f（x）=x+

15

x

+2，
∵f（x）在（0，

15

）上單調(diào)遞減，在（

15

，+∞）上單調(diào)遞增．
故當(dāng)n=3或4時(shí)，

a 2 n +14

n

取最小值，
∵

a 2 3 +14

3

=3+

15

3

+2=10，

a 2 4 +14

4

=4+

15

4

+2=

39

4

，
故當(dāng)n=4時(shí)，

a 2 n +14

n

取最小值取最小值．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列取最小值時(shí)項(xiàng)數(shù)的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意構(gòu)造法和函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．