Question

【題目】【2018百校聯(lián)盟TOP20一月聯(lián)考】函數(shù)在處的切線斜率為．

（I）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（II）設(shè)， ，對任意的，存在，使得成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（I）時(shí)， 的單調(diào)遞增區(qū)間為； 時(shí)， 的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞 減區(qū)間為．（II）

【解析】試題分析：

（1）對求導(dǎo)后根據(jù)的取值情況進(jìn)行分類討論可得函數(shù)的單調(diào)性．（2）根據(jù)題意將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最小值不小于函數(shù)的最小值的問題解決即可．

試題解析：

（1）由題意得函數(shù)的定義域?yàn)?/span>．

∵，

∴，

∵曲線在處的切線斜率為，

∴，

∴．

∴，

∴．

（ⅰ）當(dāng)時(shí)， ，所以在上單調(diào)遞增；

（ⅱ）當(dāng)時(shí)，令， ，

當(dāng)時(shí)， ，

時(shí)， ，

（ⅲ）當(dāng)時(shí)， ，故當(dāng)時(shí)， ， 在上單調(diào)遞增．

綜上：當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．

（2）由（1）可得，

∴，

設(shè) ，

則，

設(shè)，

則，

∵ 當(dāng)時(shí)， ，

∴，

∴在區(qū)間上單調(diào)遞減，

故當(dāng)時(shí)， ，

∴，

∴在上單調(diào)遞減，

∴，

∴ ，

∴ 在區(qū)間上單調(diào)遞減，

∴．

由題意得 ， ,

令，則，

∴，可求得．

∵對任意的，存在，使得成立．

∴，

整理得，

解得或，

又，所以．

∴ 實(shí)數(shù)的取值范圍為．