Question

15．如圖，圓C與x軸相切于點(diǎn)T（2，0），與y軸正半軸相交于兩點(diǎn)M，N（點(diǎn)M在點(diǎn)N的下方），且|MN|=3．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)M任作一條直線(xiàn)與橢圓$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$相交于兩點(diǎn)A、B，連接AN、BN，求證：∠ANM=∠BNM．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)圓C的半徑為r（r＞0），依題意，圓心坐標(biāo)為（2，r），根據(jù)|MN|=3，利用弦長(zhǎng)公式求得r的值，可得圓C的方程．
（Ⅱ）把x=0代入圓C的方程，求得M、N的坐標(biāo)，當(dāng)AB⊥y軸時(shí)，由橢圓的對(duì)稱(chēng)性可知∠ANM=∠BNM，當(dāng)AB與y軸不垂直時(shí)，可設(shè)直線(xiàn)AB的方程為y=kx+1，代入橢圓的方程，利用韋達(dá)定理求得K_AB+K_BN=0，可得∠ANM=∠BNM．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)圓C的半徑為r（r＞0），依題意，圓心坐標(biāo)為（2，r）．
∵|MN|=3，∴${r^2}={（{\frac{3}{2}}）^2}+{2^2}$，解得${r^2}=\frac{25}{4}$，
故圓C的方程為${（{x-2}）^2}+{（{y-\frac{5}{2}}）^2}=\frac{25}{4}$．
（Ⅱ）把x=0代入方程${（{x-2}）^2}+{（{y-\frac{5}{2}}）^2}=\frac{25}{4}$，解得y=1或y=4，
即點(diǎn)M（0，1），N（0，4）．
（1）當(dāng)AB⊥y軸時(shí)，由橢圓的對(duì)稱(chēng)性可知∠ANM=∠BNM．
（2）當(dāng)AB與y軸不垂直時(shí)，可設(shè)直線(xiàn)AB的方程為y=kx+1．
聯(lián)立方程$\left\{\begin{array}{l}y=kx+1\\{x^2}+2{y^2}=8\end{array}\right.$，消去y得，（1+2k²）x²+4kx-6=0．
設(shè)直線(xiàn)AB交橢圓Γ于A(yíng)（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）兩點(diǎn)，
則${x_1}+{x_2}=\frac{-4k}{{1+2{k^2}}}$，${x_1}{x_2}=\frac{-6}{{1+2{k^2}}}$．

∴${k_{AN}}+{k_{BN}}=\frac{{{y_1}-4}}{x_1}+\frac{{{y_2}-4}}{x_2}=\frac{{k{x_1}-3}}{x_1}+\frac{{k{x_2}-3}}{x_2}=\frac{{2k{x_1}{x_2}-3（{x_1}+{x_2}）}}{{{x_1}{x_2}}}$=0，
∴∠ANM=∠BNM．
綜上所述，∠ANM=∠BNM．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求法以及圓錐曲線(xiàn)問(wèn)題中韋達(dá)定理的應(yīng)用，弦長(zhǎng)公式，是綜合類(lèi)的題目，考慮到證兩條直線(xiàn)的斜率互為相反數(shù)是解決此題的關(guān)鍵，屬于中檔題．