Question

14．求函數(shù)y=sin²x+2sinxcosx+3cos²x（0≤x≤$\frac{π}{2}$）的值域．

Answer 1

分析 由條件利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得函數(shù)y的值域．

解答 解：函數(shù)y=sin²x+2sinxcosx+3cos²x=1+sin2x+2•$\frac{1+cos2x}{2}$=2+sin2x+cos2x
=2+$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）．
∵0≤x≤$\frac{π}{2}$，∴2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}$]，
故當(dāng)2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{5π}{4}$時(shí)，函數(shù)y取得最小值為2+$\sqrt{2}$•（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=1，
當(dāng)2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$時(shí)，函數(shù)y取得最大值為2+$\sqrt{2}$，
故函數(shù)y的值域?yàn)閇1，2+$\sqrt{2}$]．

點(diǎn)評 本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于基礎(chǔ)題．