Question

5．已知函數(shù)f（x）=log_a（x+2）-log_a（2-x），a＞0且a≠1．
（Ⅰ）判斷f（x）的奇偶性，并予以證明
（Ⅱ）求關(guān)于x的不等式f（x）＞0的解集．

Answer 1

分析 （Ⅰ）f（x）為奇函數(shù)，利用奇函數(shù)的定義予以證明
（Ⅱ）分類討論，轉(zhuǎn)化為具體不等式，即可求關(guān)于x的不等式f（x）＞0的解集．

解答 解：（Ⅰ）f（x）為奇函數(shù)．
證明如下：f（x）的定義域?yàn)閧x|-2＜x＜2}，且
f（-x）=log_a（-x+2）-log_a（2+x）
=-[log_a（x+2）-log_a（2-x）]
=-f（x）．故f（x）為奇函數(shù)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（6分）
（Ⅱ）當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）在定義域{x|-2＜x＜2}上是增函數(shù)，
所以f（x）＞0?$\frac{x+2}{2-x}＞1$．解得0＜x＜2．
所以使f（x）＞0的x的取值集合是{x|0＜x＜2}．
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）在定義域{x|-2＜x＜2}上是減函數(shù)，
所以f（x）＞0?$0＜\frac{x+2}{2-x}＜1$．解得-2＜x＜0．
所以使f（x）＞0的x的取值集合是{x|-2＜x＜0}． 　                             （12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的性質(zhì)，考查不等式的解法，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．