Question

3．已知動圓P與圓${F_1}：{（x+3）^2}+{y^2}=81$相切，且與圓${F_2}：{（x-3）^2}+{y^2}=1$相內(nèi)切，記圓心P的軌跡為曲線C，求曲線C的方程．

Answer 1

分析 由已知：F₁（-3，0），r₁=9；F₂（3，0），r₂=1，設(shè)所求圓圓心P（x，y），半徑為r．作圖可得$\left\{\begin{array}{l}|{P{F_1}}|=9-r\\|{P{F_2}}|=r-1\end{array}\right.$，|PF₁|+|PF₂|=8＞6=|F₁F₂|，
利用橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程即可得出．

解答 解：由已知：F₁（-3，0），r₁=9；F₂（3，0），r₂=1，
設(shè)所求圓圓心P（x，y），半徑為r．
作圖可得$\left\{\begin{array}{l}|{P{F_1}}|=9-r\\|{P{F_2}}|=r-1\end{array}\right.$，則有|PF₁|+|PF₂|=8＞6=|F₁F₂|，
即點P在以F₁（-3，0）、F₂（3，0）為焦點，2a=8，2c=6的橢圓上b²=a²-c²=16-9=7，
則P點軌跡方程為：$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{7}=1$．

點評 本題考查了橢圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、圓與圓相切的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．