Question

5．已知f（x）=log₂x，x∈[$\frac{1}{8}$，4]，則函數(shù)y=[f（$\frac{{x}^{2}}{2}$）]×f（2x）的值域是[$-\frac{9}{8}，2$]．

Answer 1

分析 根據(jù)復(fù)合函數(shù)定義域之間的關(guān)系求出函數(shù)的定義域，然后結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)和一元二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 解：∵f（x）=log₂x，x∈[$\frac{1}{8}$，4]，
∴由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{8}≤2x≤4}\\{\frac{1}{8}≤\frac{{x}^{2}}{2}≤4}\end{array}\right.$，解得$\frac{1}{2}≤x≤2$．
∴函數(shù)y=[f（$\frac{{x}^{2}}{2}$）]×f（2x）的定義域?yàn)閇$\frac{1}{2}，2$]．
則y=[f（$\frac{{x}^{2}}{2}$）]×f（2x）=$lo{g}_{2}\frac{{x}^{2}}{2}•lo{g}_{2}2x=（2lo{g}_{2}x-1）（lo{g}_{2}x+1）$
=$2lo{{g}_{2}}^{2}x+lo{g}_{2}x-1$=$2（lo{g}_{2}x+\frac{1}{4}）^{2}-\frac{9}{8}$．
∵$\frac{1}{2}≤x≤2$，∴-1≤log₂x≤1，
∴當(dāng)$lo{g}_{2}x=-\frac{1}{4}$時(shí)，${y}_{min}=-\frac{9}{8}$；
當(dāng)log₂x=1時(shí)，y_max=2．
∴函數(shù)y=[f（$\frac{{x}^{2}}{2}$）]×f（2x）的值域是[$-\frac{9}{8}，2$]．
故答案為：[$-\frac{9}{8}，2$]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)值域的求解，求出函數(shù)的定義域是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題．