Question

（本題滿分14分）
如圖，正方形所在平面與圓所在平面相交于，線段為圓的弦，垂直于圓所在平面，垂足是圓上異于、的點，，圓的直徑為9

（Ⅰ）求證：平面平面；
（Ⅱ）求二面角的平面角的正切值。

Answer 1

(Ⅰ)證明：∵垂直于圓所在平面，在圓所在平面上，
∴。
在正方形中，，
∵，∴平面．∵平面，
∴平面平面�！�…………………………………………6分
（Ⅱ）解法1：∵平面，平面，
∴。
∴為圓的直徑，即．
設正方形的邊長為，
在△中，，
在△中，，
由，解得，�！�。
過點作于點，作交于點，連結，
由于平面，平面，∴�！�，
∴平面。∵平面，
∴�！�，，
∴平面�！�平面，∴
∴是二面角的平面角�！�………………………………10分
在△中，，，，
∵，∴。
在△中，，,∴�！�…………13分
故二面角的平面角的正切值為�！�………………………14分
解法2：∵平面，平面，
∴�！�為圓的直徑，即。
設正方形的邊長為，在△中，，
在△中，，
由，解得，�！�。
以為坐標原點，分別以、所在的直線為軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，
，�！�…………8分
設平面的法向量為，
則即
取，則是平面的一個法向量�！�………9分
設平面的法向量為，則即
取，則是平面的一個法向量。…………10分
,。
∴…………………………………………………………13分
故二面角的平面角的正切值為�！�……………………………14分

略