Question

已知數(shù)列的前項(xiàng)和（為正整數(shù)）
（1）令，求證數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）令，，試比較與的大小，并予以證明

Answer 1

（1）見解析；（2）見解析

試題分析：（1）由題意數(shù)列的前項(xiàng)和表達(dá)式，先根據(jù)求數(shù)列的通項(xiàng)的遞推關(guān)系式，再求數(shù)列是等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)求數(shù)列的通項(xiàng)；（2）由（1）所求數(shù)列的通項(xiàng)先得，再利用錯(cuò)位相減法求得表達(dá)式，再把與作差比較大小，可利用數(shù)學(xué)歸納法證明
試題解析：（I）在中，令n=1，可得，即
當(dāng)時(shí)，，


又數(shù)列是首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列
于是
(II)由（I）得，所以


由①-②得


于是確定的大小關(guān)系等價(jià)于比較的大小
由
可猜想當(dāng)證明如下：
證法1：（1）當(dāng)n=3時(shí)，由上驗(yàn)算顯示成立。
（2）假設(shè)時(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)猜想成立，
綜合（1）（2）可知，對(duì)一切的正整數(shù)，都有
證法2：
當(dāng)時(shí)
，
綜上所述，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)項(xiàng)和；2、錯(cuò)位相減法求和；3、作差比較法