Question

已知圓x²+y²=8，過(guò)點(diǎn)P₀（-1，2）的直線l與圓交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別求滿足下列條件時(shí)直線l的方程：
（1）|AB|=

14

；
（2）

OA

•

OB

=-6．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,直線的一般式方程,直線與圓相交的性質(zhì)

專題：平面向量及應(yīng)用,直線與圓

分析：（1）當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，把x=-1代入圓x²+y²=8，解得y，直接驗(yàn)證即可；當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y-2=k（x+1），化為kx-y+k+2=0，
求出圓心（0，0）到直線AB的距離d，利用(

1

2

|AB|)2+d2=R2，解出k即可得出．
（2）當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，把x=-1代入圓x²+y²=8，解得y，驗(yàn)證是否滿足

OA

•

OB

=-6，即可；當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y-2=k（x+1），化為kx-y+k+2=0，與圓的方程聯(lián)立可得（1+k²）x²+（2k²+4k）x+k²+4k-4=0，△＞0，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得y₁y₂，利用-6=

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂解出即可．

解答： 解：（1）當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，把x=-1代入圓x²+y²=8，可得1+y²=8，解得y=±

7

，此時(shí)|AB|=2

7

≠

14

，舍去；
當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y-2=k（x+1），化為kx-y+k+2=0，
∴圓心（0，0）到直線AB的距離d=

|k+2|

k2+1

，
∴(

1

2

|AB|)2+d2=R2，
∴(

1

2

14

)2+(

|k+2|

k2+1

)2=8，
化為7k²-8k+1=0，
解得k=1或

1

7

．
∴直線l的方程為x-y+3=0，或x-7y+15=0．
（2）當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，把x=-1代入圓x²+y²=8，可得1+y²=8，解得y=±

7

，此時(shí)

OA

•

OB

=1-7=-6，滿足條件，因此直線x=-1符合條件；
當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y-2=k（x+1），化為kx-y+k+2=0，
聯(lián)立

kx-y+k+2=0 x2+y2=8

，
化為（1+k²）x²+（2k²+4k）x+k²+4k-4=0，
△=（2k²+4k）²-4（1+k²）（k²+4k-4）＞0，
∴x₁+x₂=-

2k2+4k

1+k2

，x1x2=

k2+4k-4

1+k2

．
y₁y₂=（kx₁+k+2）（kx₂+k+2）=k²x₁x₂+（k²+2k）（x₁+x₂）+（k+2）²，
∵-6=

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂+（k²+2k）（x₁+x₂）+（k+2）²，
∴（k²+4k-4）+

-(k2+2k)(2k2+4k)

1+k2

+（k+2）²=-6，
化為4k+3=0，
解得k=-

3

4

，滿足△＞0．
∴直線l的方程為-

3

4

x-y-

3

4

+2=0，化為3x+4y-5=0．
綜上可得直線l的方程為：x=-1或3x+4y-5=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與圓相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)到直線的距離公式公式，考查了分類討論思想方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．