已知中心在原點(diǎn)的橢圓C:的一個焦點(diǎn)為,為橢圓C上一點(diǎn),的面積為.
(1)求橢圓C的方程;
(2)是否存在平行于OM的直線,使得直線與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn),且以線段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過原點(diǎn)?若存在,求出直線的方程;若不存在,請說明理由.
(1) (2) 直線存在,且所求的直線的方程為或.
解析試題分析:(1)因?yàn)闄E圓C的一個焦點(diǎn)為,
所以,則橢圓C的方程為,
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/33/a/1n7i94.png" style="vertical-align:middle;" />,所以,解得.
故點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,4).
因?yàn)镸(1,4)在橢圓上,所以,得,
解得或(不合題意,舍去),則.
所以橢圓C的方程為.
(2)假設(shè)存在符合題意的直線與橢圓C相交于,兩點(diǎn),其方程為(因?yàn)橹本OM的斜率,
由消去,化簡得.
進(jìn)而得到,.
因?yàn)橹本與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn),
所以,
化簡,得,解得.
因?yàn)橐跃段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過原點(diǎn),
所以,所以.
又,
,
解得.由于,所以符合題意的直線存在,且所求的直線的方程為或.
考點(diǎn):直線與圓錐曲線的關(guān)系;橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
點(diǎn)評:本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查直線與橢圓的位置關(guān)系,考查韋達(dá)定理的運(yùn)用,確定橢圓方程,正確運(yùn)用韋達(dá)定理是關(guān)鍵.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
在直角坐標(biāo)系中,設(shè)動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離相等,記的軌跡為.又直線的一個方向向量且過點(diǎn),與交于兩點(diǎn),求的長.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
以原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知曲線,過點(diǎn)的直線的參數(shù)方程為,設(shè)直線與曲線分別交于;
(1)寫出曲線和直線的普通方程;
(2)若成等比數(shù)列,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知拋物線E:y2= 4x,點(diǎn)P(2,O).如圖所示,直線.過點(diǎn)P且與拋物線E交于A(xl,y1)、B( x2,y2)兩點(diǎn),直線過點(diǎn)P且與拋物線E交于C(x3, y3)、D(x4,y4)兩點(diǎn).過點(diǎn)P作x軸的垂線,與線段AC和BD分別交于點(diǎn)M、N.
(I)求y1y2的值;
(Ⅱ)求訌:|PM|="|" PN|
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知圓的方程為,過點(diǎn)作圓的兩條切線,切點(diǎn)分別為、,直線恰好經(jīng)過橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn).
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)是橢圓(垂直于軸的一條弦,所在直線的方程為且是橢圓上異于、的任意一點(diǎn),直線、分別交定直線于兩點(diǎn)、,求證.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
求中心在坐標(biāo)原點(diǎn),對稱軸為坐標(biāo)軸且經(jīng)過點(diǎn),一條漸近線的傾斜角為的雙曲線方程。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
動圓M過定點(diǎn)A(-,0),且與定圓A´:(x-)2+y2=12相切.
(1)求動圓圓心M的軌跡C的方程;
(2)過點(diǎn)P(0,2)的直線l與軌跡C交于不同的兩點(diǎn)E、F,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
在直角坐標(biāo)系xoy中,直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù))。在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系xoy取相同的長度單位,且以原點(diǎn)O為極點(diǎn),以x軸正半軸為極軸)中,圓C的方程為。
(Ⅰ)求圓C的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)設(shè)圓C與直線交于點(diǎn)A、B,若點(diǎn)P的坐標(biāo)為,求|PA|+|PB|。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓過點(diǎn),橢圓左右焦點(diǎn)分別為,上頂點(diǎn)為,為等邊三角形.定義橢圓C上的點(diǎn)的“伴隨點(diǎn)”為.
(1)求橢圓C的方程;
(2)求的最大值;
(3)直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn),若點(diǎn)A、B的“伴隨點(diǎn)”分別是P、Q,且以PQ為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O.橢圓C的右頂點(diǎn)為D,試探究ΔOAB的面積與ΔODE的面積的大小關(guān)系,并證明.
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