Question

已知函數(shù)g（x）=ax+a，f（x）=

x2-1，0≤x≤2 -x2，-2≤x＜0

，若對(duì)任意的x₁∈[-2，2]，存在x₂∈[-2，2]，使g（x₁）=f（x₂）成立，則a的取值范圍是（　�。�

• A、[-

  4

  3

  ，+∞）
• B、[-

  4

  3

  ，1]
• C、（0，1]
• D、（-∞，1]

Answer 1

考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用,函數(shù)的值

專(zhuān)題：計(jì)算題,分類(lèi)討論,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由任意的x₁∈[-2，2]，都存在x₂∈[-2，2]，使得g（x₁）=f（x₂），可得g（x）=ax+a在x₁∈[-2，2]的值域?yàn)閒（x）=

x2-1，0≤x≤2 -x2，-2≤x＜0

在x₂∈[-1，2]的值域的子集，對(duì)a討論，a＞0，a=0，a＜0，構(gòu)造關(guān)于a的不等式組，可得結(jié)論．

解答： 解：當(dāng)x₂∈[-2，0）時(shí)，由f（x）=-x²得，
f（x₂）∈[-4，0），
當(dāng)x₂∈[0，2]時(shí)，由f（x）=x²-1得，
f（x₂）∈[-1，3]，
即有當(dāng)x₂∈[-2，2]時(shí)，f（x₂）的值域?yàn)閇-4，3]．
又∵任意的x₁∈[-2，2]，都存在x₂∈[-2，2]，使得g（x₁）=f（x₂），
∴當(dāng)x₁∈[-2，2]時(shí)，g（x₁）的值域包含于[-4，3]，
當(dāng)a＜0時(shí)，g（x）在[-2，2]遞減，值域?yàn)閇3a，-a]，
即有-4≤3a＜-a≤3，解得-

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≤a＜0；
當(dāng)a=0時(shí)，g（x₁）=0恒成立，滿(mǎn)足要求；
當(dāng)a＞0時(shí)，g（x）在[-2，2]遞增，值域?yàn)閇-a，3a]，
即有-4≤-a＜3a≤3，解得0＜a≤1．
綜上所述實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-

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，1]．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是一次函數(shù)和二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，其中根據(jù)已知分析出“g（x）=ax+a在x₁∈[-2，2]的值域?yàn)閒（x）在x₂∈[-2，2]的值域的子集”是解答的關(guān)鍵．