Question

已知函數(shù)f（x）=x³+2x-sinx，（x∈R）
（1）證明：函數(shù)f（x）是R上的單調(diào)遞增函數(shù)；
（2）解關(guān)于x的不等式f（ax²-x）+f（1-ax）＜0，其中a∈R．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求函數(shù) 導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)即可證明函數(shù)f（x）是R上的單調(diào)遞增函數(shù)；
（2）判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可解不等式．

解答： 解：（1）函數(shù)的f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）=3x²+2-cosx，
∵3x²≥0，2-cosx＞0，
∴f′（x）＞0，故函數(shù)f（x）是R上的單調(diào)遞增函數(shù)．
（2）∵f（-x）=-x³-2x+sinx=-（x³+2x-sinx）=-f（x），
∴f（x）為奇函數(shù)，
則不等式等價為f（ax²-x）＜-f（1-ax）=f（ax-1），
則ax²-x＜ax-1，
整理得ax²-（a+1）x+1＜0，
即（ax-1）（x-1）＜0，
若a=0，則不等式等價為x-1＞0，解得x＞1．
若a＜0，則不等式等價為 a（x-

1

a

）（x-1）＜0，
即（x-

1

a

）（x-1）＞0，此時不等式的解集為（-∞，

1

a

）∪（1，+∞），
若a＞0，不等式等價為 （x-

1

a

）（x-1）＜0，
若a=1，則不等式的解集為∅．
若0＜a＜1，不等式的解集為（1，

1

a

），
若a＞1，不等式的解集為（

1

a

，1）．

點(diǎn)評：本題主要考查不等式的求解以及函數(shù)單調(diào)性的判斷和證明，利用導(dǎo)數(shù)以及一元二次不等式的解法是解決本題的關(guān)鍵．