Question

10．已知x，y滿足x²+y²-8x-4y-5=0，解答下列問(wèn)題．
（1）求$\frac{y+1}{x+1}$的范圍；
（2）求x²+y²+2x-2y+3的范圍；
（3）已知圓內(nèi)有一點(diǎn)M（3，2），過(guò)M點(diǎn)互相垂直的弦AC、BD，求AC+BD的最小值及四邊形ABCD面積的最小值．

Answer 1

分析 化圓的一般方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，畫出圖形．
（1）由$\frac{y+1}{x+1}$的幾何意義，即圓上動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)P（-1，-1）連線的斜率求解；
（2）由x²+y²+2x-2y+3=（x+1）²+（y-1）²+1，其幾何意義為圓上動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)Q（-1，1）距離的平方加1求解；
（3）連接GM，設(shè)∠GMC=θ，則點(diǎn)G到直線AC的距離d₁=|GM|sinθ=sinθ，得|AC|=2$\sqrt{{r}^{2}-{dl5xpdp_{1}}^{2}}=2\sqrt{25-si{n}^{2}θ}$，同理得|BD|=2$\sqrt{{r}^{2}-{eebvji5_{2}}^{2}}=2\sqrt{25-co{s}^{2}θ}$，然后利用三角運(yùn)算求得答案．

解答 解：由x²+y²-8x-4y-5=0，得（x-4）²+（y-2）²=25，
畫出圖形如圖：

（1）$\frac{y+1}{x+1}$的幾何意義為圓上動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)P（-1，-1）連線的斜率，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為k，
則直線方程為y+1=k（x+1），即kx-y+k-1=0．
由$\frac{|4k-2+k-1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=5$，解得k=-$\frac{8}{15}$，
∴k的取值范圍為[-$\frac{8}{15}，+∞$）；
（2）x²+y²+2x-2y+3=（x+1）²+（y-1）²+1，其幾何意義為圓上動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)Q（-1，1）距離的平方加1，
∵|GQ|=$\sqrt{（-1-4）^{2}+（1-2）^{2}}=\sqrt{26}$，
∴x²+y²+2x-2y+3的最小值為$（\sqrt{26}-5）^{2}+1=52-10\sqrt{26}$，最大值為$（\sqrt{26}+5）^{2}+1=52+10\sqrt{26}$，
∴x²+y²+2x-2y+3的取值范圍為[$52-10\sqrt{26}，52+10\sqrt{26}$]；
（3）連接GM，設(shè)∠GMC=θ，則點(diǎn)G到直線AC的距離d₁=|GM|sinθ=sinθ，
∴|AC|=2$\sqrt{{r}^{2}-{hwj2a8s_{1}}^{2}}=2\sqrt{25-si{n}^{2}θ}$，
同理O到BD的距離d₂=|GM|cosθ=cosθ，
∴|BD|=2$\sqrt{{r}^{2}-{m5l8rem_{2}}^{2}}=2\sqrt{25-co{s}^{2}θ}$，
∴$（|AC|+|BD|）^{2}=4（\sqrt{25-si{n}^{2}θ}+\sqrt{25-co{s}^{2}θ}）^{2}$=$4（49+2\sqrt{600+\frac{1}{4}si{n}^{2}2θ}）$，
∴$（|AC|+|BD|{）^{2}}_{min}=4（49+20\sqrt{6}）$，則|AC|+|BD|的最小值為$2\sqrt{49+20\sqrt{6}}$；
∴四邊形ABCD的面積S=$\frac{1}{2}$|AB||CD|=2$\sqrt{25-si{n}^{2}θ}$×$\sqrt{25-co{s}^{2}θ}$=2$\sqrt{600+\frac{1}{4}si{n}^{2}2θ}$，
當(dāng)sin²2θ=0時(shí)，四邊形ABCD面積有最小值$20\sqrt{6}$．

點(diǎn)評(píng) 不同考查直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法和數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，問(wèn)題（3）的設(shè)置，難度較大．