Question

7．?dāng)?shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=1，${a_n}+{a_{n+1}}=3×{2^{n-1}}$，則S₂₀₁₇=（　　）

• A． 2²⁰¹⁸-1
• B． 2²⁰¹⁸+1
• C． 2²⁰¹⁷-1
• D． 2²⁰¹⁷+1

Answer 1

分析 由a₁=1和${a_{n+1}}=3×{2^{n-1}}-{a_n}$，可知數(shù)列{a_n}唯一確定，并且a₂=2，a₃=4，a₄=8，猜測${a_n}={2^{n-1}}$，經(jīng)驗(yàn)證${a_n}={2^{n-1}}$是滿足題意的唯一解．利用等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：由a₁=1和${a_{n+1}}=3×{2^{n-1}}-{a_n}$，可知數(shù)列{a_n}唯一確定，并且a₂=2，a₃=4，a₄=8，
猜測${a_n}={2^{n-1}}$，經(jīng)驗(yàn)證${a_n}={2^{n-1}}$是滿足題意的唯一解．
∴S₂₀₁₇=$\frac{{2}^{2017}-1}{2-1}$=2²⁰¹⁷-1．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、猜想與歸納法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．