Question

2．設(shè)點(diǎn)P（x，y）在不等式組$\left\{\begin{array}{l}x≥1\\ 2x-y≤0\\ x+y-6≤0\end{array}\right.$所表示的平面區(qū)域內(nèi)，則$z=\frac{9xy}{{9{x^2}+{y^2}}}$的取值范圍為（　�。�

• A． $[{\frac{18}{13}，\frac{3}{2}}]$
• B． $[{\frac{45}{34}，\frac{3}{2}}]$
• C． $[{\frac{45}{34}，\frac{18}{13}}]$
• D． $[{\frac{18}{13}，\frac{45}{34}}]$

Answer 1

分析 畫出不等式組$\left\{\begin{array}{l}x≥1\\ 2x-y≤0\\ x+y-6≤0\end{array}\right.$表示的平面區(qū)域，化$z=\frac{9xy}{{9{x^2}+{y^2}}}$=$\frac{9（\frac{y}{x}）}{9{+（\frac{y}{x}）}^{2}}$，設(shè)t=$\frac{y}{x}$，利用斜率求出t的取值范圍，再利用基本不等式求出z的取值范圍．

解答 解：畫出不等式組$\left\{\begin{array}{l}x≥1\\ 2x-y≤0\\ x+y-6≤0\end{array}\right.$所表示的平面區(qū)域內(nèi)如圖所示，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{x+y-6=0}\end{array}\right.$求出點(diǎn)A（1，5）；

又$z=\frac{9xy}{{9{x^2}+{y^2}}}$=$\frac{9（\frac{y}{x}）}{9{+（\frac{y}{x}）}^{2}}$，
設(shè)t=$\frac{y}{x}$，則k_BC≤t≤k_OA，即2≤t≤5，
∴z=$\frac{9t}{9{+t}^{2}}$=$\frac{9}{\frac{9}{t}+t}$；
又2≤t≤5，
∴2•$\sqrt{\frac{9}{t}•t}$≤$\frac{9}{t}$+t≤$\frac{9}{5}$+5，
即6≤$\frac{9}{t}$+t≤$\frac{34}{5}$，
∴$\frac{45}{34}$≤$\frac{9}{\frac{9}{t}+t}$≤$\frac{3}{2}$，
即z的取值范圍是[$\frac{45}{34}$，$\frac{3}{2}$]．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二元一次不等式組表示平面區(qū)域的應(yīng)用問題，也考查了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用問題，是綜合題．