Question

已知二項(xiàng)式（

x

-

2

x2

）ⁿ，（n∈N^*）的展開式中第5項(xiàng)的系數(shù)與第3項(xiàng)的系數(shù)的比是10：1，
（1）求展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和；
（2）求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)以及二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)．

Answer 1

考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

專題：計(jì)算題,二項(xiàng)式定理

分析：（1）運(yùn)用二項(xiàng)式的通項(xiàng)，即可得到

C 4 n (-2)4

C 2 n (-2)2

=10，求出n=8，再令x=1即可得到；
（2）求出展開式中第r項(xiàng)，第r+1項(xiàng)，第r+2項(xiàng)的系數(shù)絕對(duì)值，若第r+1項(xiàng)的系數(shù)絕對(duì)值最大，列出不等式，解出r的范圍，即可判斷系數(shù)最大項(xiàng)，注意符號(hào)，二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)為中間項(xiàng)．

解答： 解：（1）∵第5項(xiàng)的系數(shù)與第3項(xiàng)的系數(shù)的比是10：1，
∴

C 4 n (-2)4

C 2 n (-2)2

=10，解得n=8；
令x=1得到展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和為（1-2）⁸=1；
（2）展開式中第r項(xiàng)，第r+1項(xiàng)，第r+2項(xiàng)的系數(shù)絕對(duì)值
分別為

C

r-1 8

•2r-1，

C

r 8

•2r，

C

r+1 8

•2r+1，
若第r+1項(xiàng)的系數(shù)絕對(duì)值最大，
則必須滿足：

C

r-1 8

•2r-1≤

C

r 8

•2r，
 并且

C

r+1 8

•2r+1≤

C

r 8

•2r，解得5≤r≤6；
所以系數(shù)最大的項(xiàng)為T₇=1792•

1

x11

；
二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為T₅=1120•

1

x6

點(diǎn)評(píng)：本題考查二項(xiàng)式定理的運(yùn)用，求指定項(xiàng)的系數(shù)，求展開式中的系數(shù)最大項(xiàng)和二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)，注意運(yùn)用不等式求解，屬于中檔題．