Question

為增強市民的節(jié)能環(huán)保意識，某市面向全市征召義務(wù)宣傳志愿者．從符合條件的500名志愿者中隨機抽取100名志愿者，其年齡頻率分布直方圖如圖所示，其中年齡分組區(qū)間是：[20，25），{25，30），[30，35），[35，40）[40，45]．
（Ⅰ）求圖中x的值，并根據(jù)頻率分布直方圖估計這500名志愿者中年齡在[35，40）歲的人數(shù)；
（Ⅱ）在抽出的100名志愿者中，按年齡采用分層抽樣的方法抽取10名參加中心廣場的宣傳活動，再從這10名中采用簡單隨機抽樣方法選取3名志愿者擔(dān)任主要負(fù)責(zé)人．記這3名志愿者中“年齡低于35歲”的人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,分層抽樣方法,古典概型及其概率計算公式

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（I）根據(jù)小矩形的面積等于頻率，而頻率之和等于0．即可得出x，再用頻率×總體容量即可．
（II）分層抽樣的方法，從100名志愿者中選取10名；則其中年齡“低于35歲”的人有10×（0.01+0.04+0.07）×5=6名，“年齡不低于35歲”的人有4名．X的可能取值為0，1，2，3，再利用超幾何分布即可得出，再利用數(shù)學(xué)期望的計算公式即可得出

解答： 解：（I）∵小矩形的面積等于頻率，而頻率之和等于1．
∴（0.07+x+0.04+0.02+0.01）×5=1，
解得x=0.06．
500名志愿者中，年齡在[35，40）歲的人數(shù)為0.06×5×500=150（人）．
（II）用分層抽樣的方法，從100名志愿者中選取10名，
則其中年齡“低于35歲”的人有6名，
“年齡不低于35歲”的人有4名．
故X的可能取值為0，1，2，3，
P（X=0）=

C 3 4

C 3 10

=

1

30

，
P（X=1）=

C 1 6 C 2 4

C 3 10

=

3

10

，
P（X=2）=

C 2 6 C 1 4

C 3 10

=

1

2

，
P（X=3）=

C 3 6

C 3 10

=

1

6

．
故X的分布列為

X	0	1	2	3
P	1 30	3 10	1 2	1 6

∴EX=0×

1

30

+1×

3

10

+2×

1

2

+3×

1

6

=1.8．

點評：本題考查了頻率分布直方圖的性質(zhì)、分層抽樣、超幾何分布及其數(shù)學(xué)期望、概率計算公式等基礎(chǔ)知識與基本技能，屬于中檔題．