Question

16．二項(xiàng)式（${\root{3}{x}$-$\frac{1}{{2\root{3}{x}}}$）ⁿ的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為$\frac{1}{64}$，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為-$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 先x=1，求出n的值，再利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式求出常數(shù)項(xiàng)．

解答 解：令x=1，根據(jù)題意有${（{1-\frac{1}{2}}）^n}=\frac{1}{64}$，
解得n=6；
（${\root{3}{x}$-$\frac{1}{{2\root{3}{x}}}$）⁶展開式的通項(xiàng)公式為：
${T_{r+1}}=C_6^r{（{\root{3}{x}}）^{6-r}}{（{-\frac{1}{{2\root{3}{x}}}}）^r}={（{-\frac{1}{2}}）^r}C_6^r{x^{\frac{6-2r}{3}}}$，
令$\frac{6-2r}{3}=0$，解得r=3；
所以，展開式的常數(shù)項(xiàng)為：
${T_4}={（{-\frac{1}{2}}）^3}C_6^3=-\frac{5}{2}$．
故答案為：-$\frac{5}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了用賦值法求二項(xiàng)式次數(shù)的應(yīng)用問題，也考查了二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．