Question

已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為

3

，以頂點(diǎn)A為球心，2為半徑作一個(gè)球，則球面與正方體的表面相交所得到的曲線(xiàn)的長(zhǎng)等于

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：球內(nèi)接多面體

專(zhuān)題：計(jì)算題,空間位置關(guān)系與距離

分析：球面與正方體的六個(gè)面都相交，所得的交線(xiàn)分為兩類(lèi)：一類(lèi)在頂點(diǎn)A所在的三個(gè)面上；另一類(lèi)在不過(guò)頂點(diǎn)A的三個(gè)面上，且均為圓弧，分別求其長(zhǎng)度可得結(jié)果．

解答： 解：如圖，球面與正方體的六個(gè)面都相交，所得的交線(xiàn)分為兩類(lèi)：一類(lèi)在頂點(diǎn)A所在的三個(gè)面上，即面AA₁B₁B、面ABCD和面AA₁D₁D上；另一類(lèi)在不過(guò)頂點(diǎn)A的三個(gè)面上，即面BB₁C₁C、面CC₁D₁D和面A₁B₁C₁D₁上．
在面AA₁B₁B上，交線(xiàn)為弧EF且在過(guò)球心A的大圓上，因?yàn)锳E=2，AA₁=

3

，則∠A₁AE=

π

6

．同理∠BAF=

π

6

，
所以∠EAF=

π

6

，故弧EF的長(zhǎng)為2•

π

6

=

π

3

，這樣的弧共有三條．
在面BB₁C₁C上，交線(xiàn)為弧FG且在距球心為

3

的平面與球面相交所得的小圓上，此時(shí)，小圓的圓心為B，半徑為1，∠FBG=

π

2

，所以弧FG的長(zhǎng)為

π

2

．這樣的弧也有三條．
于是，所得的曲線(xiàn)長(zhǎng)為

π

3

×3+

π

2

×3=

5π

2

．
故答案為：

5π

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題為空間幾何體交線(xiàn)問(wèn)題，找到球面與正方體的表面相交所得到的曲線(xiàn)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題