Question

17．點(diǎn)P是橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）上的一點(diǎn)，其左焦點(diǎn)為F（-c，0），若M為線段FP的中點(diǎn)，且M到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為$\frac{c}{4}$，則$\frac{a}$的取值范圍是（　　）

• A． （0，$\frac{\sqrt{5}}{3}$）
• B． （0，$\frac{\sqrt{5}}{3}$]
• C． （$\frac{\sqrt{5}}{3}$，1）
• D． [$\frac{\sqrt{5}}{3}$，1）

Answer 1

分析 如圖所示，連接F′P，利用三角形中位線定理可得：F′P=2OM=$\frac{c}{2}$，由橢圓的定義可得：FP=2a-$\frac{c}{2}$．利用FF′+F′P≥FP，即2c+$\frac{c}{2}$≥2a-$\frac{c}{2}$，化簡(jiǎn)整理即可得出．

解答 解：如圖所示，
連接F′P，∵M(jìn)為線段FP的中點(diǎn)，O為線段FF′的中點(diǎn)，
∴F′P=2OM=$\frac{c}{2}$，
由橢圓的定義可得：FP=2a-$\frac{c}{2}$．
則FF′+F′P≥FP，即2c+$\frac{c}{2}$≥2a-$\frac{c}{2}$，
化為：3c≥2a，∴9c²=9（a²-b²）≥4a²，
∴5a²≥9b²，
解得$0＜\frac{a}≤\frac{\sqrt{5}}{3}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、不等式的解法、三角形中位線定理、三角形三邊大小關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．