Question

12．已知直線l：$\sqrt{3}$x-y+1=0，方程x²+y²-2mx-2y+m+3=0表示圓．
（Ⅰ）求實數(shù)m的取值范圍；
（Ⅱ）當m=3時，試判斷直線l與該圓公共點的個數(shù)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用4m²+4-4（m+3）＞0，即可求實數(shù)m的取值范圍；
（Ⅱ）當m=3時，求出圓心到直線的距離大于半徑，即可判斷直線l與該圓公共點的個數(shù)．

解答 解：（Ⅰ）∵方程x²+y²-2mx-2y+m+3=0表示圓，
∴4m²+4-4（m+3）＞0⇒m＜-1或m＞2…（6分）
（Ⅱ）當m=3時，圓的方程可化為（x-3）²+（y-1）²=4
所以圓心為（3，1），半徑為r=2…（8分）
圓心到直線的距離$d=\frac{{|{3\sqrt{3}-1+1}|}}{{\sqrt{3+1}}}=\frac{{3\sqrt{3}}}{2}＞r$…（10分）
∴直線與圓相離，即直線與圓沒有公共點．…（12分）

點評 本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關系，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．