Question

在等比數(shù)列{a_n}中，a₁+a_k=30，a₂a_k-1=81，且數(shù)列前k項(xiàng)的和S_k=39，則k=（　　）

• A、2
• B、3
• C、4
• D、5

Answer 1

考點(diǎn)：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由題意可得a₁，a_k為方程x²-30x+81=0的兩根，解方程可得

a1=3 ak=27

，或

a1=27 ak=3

，設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，分別代入求和公式可得q，可得k值．

解答：解：由等比數(shù)列的性質(zhì)可得a₁a_k=a₂a_k-1=81，
又a₁+a_k=30，∴a₁，a_k為方程x²-30x+81=0的兩根，
解方程可得

a1=3 ak=27

，或

a1=27 ak=3

，
設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，
當(dāng)

a1=3 ak=27

時(shí)，S_k=

a1-akq

1-q

=

3-27q

1-q

=39，解得q=3，
∴a₁×3^k-1=a_k，即3×3^k-1=27，解得k=3；
當(dāng)

a1=27 ak=3

時(shí)，S_k=

a1-akq

1-q

=

27-3q

1-q

=39，解得q=

1

3

，
∴a₁×(

1

3

)k-1=a_k，即

1

3

×(

1

3

)k-1=3，解得k=-1（舍去）
故選：B

點(diǎn)評：本題考查等比數(shù)列的求和公式，涉及一元二次方程根的求解以及分類討論的思想，屬中檔題．