Question

1．定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足xf′（x）-f（x）=x²lnx，且f（1）=-1，則f（x）的最小值為（　�。�

• A． -e
• B． -$\frac{e}{2}$
• C． $\frac{e}{2}$
• D． e

Answer 1

分析 先求出f（x）的表達式，求出f（x）的導數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最小值即可．

解答 解：∵xf′（x）-f（x）=x²lnx，
∴$\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$=lnx，
∴${[\frac{f（x）}{x}]}^{′}$=lnx，
∴$\frac{f（x）}{x}$=xlnx-x+c，
∵f（1）=-1，
∴f（1）=-1+c=-1，解得：c=0，
∴f（x）=x²（lnx-1），
∴f′（x）=x（2lnx-1），
令f′（x）＞0，解得：x＞$\sqrt{e}$，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜$\sqrt{e}$，
∴f（x）在（0，$\sqrt{e}$）遞減，在（$\sqrt{e}$，+∞）遞增，
∴f（x）_min=f（$\sqrt{e}$）=-$\frac{e}{2}$，
故選：B．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導數(shù)的應用以及求函數(shù)的原函數(shù)問題，是一道中檔題．