Question

11．在平面直角坐標系中，直線l經(jīng)過點P（1，1），傾斜角α=$\frac{π}{6}$，現(xiàn)以平面直角坐標系中的坐標原點為極點，x 軸的非負半軸為極軸建立極坐標系．若曲線C 的極坐標方程為ρsin²θ=8cosθ．
（1）寫出直線l 的參數(shù)方程及曲線C 的直角坐標方程；
（2）設(shè)直線l與曲線C相交于 A、B兩點，求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

分析 （1）由直線l經(jīng)過點P（1，1），傾斜角α=$\frac{π}{6}$，即可得出直線的參數(shù)方程．曲線C 的極坐標方程為ρsin²θ=8cosθ，即ρ²sin²θ=8ρcosθ．把x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入即可得出直角坐標方程．
（2）將直線l的參數(shù)方程$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t}\\{y=1+\frac{1}{2}t}\end{array}}\right.$（t為參數(shù)）代入y²=8x中，可得得，${t^2}+4（1-4\sqrt{3}）t-28=0$．設(shè)點A，B對應(yīng)的參數(shù)分別為t₁，t₂，由t的幾何意義可知，|PA|•|PB|=|t₁||t₂|=|t₁t₂|．

解答 解：（1）直線l的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t}\\{y=1+\frac{1}{2}t}\end{array}}\right.$（t為參數(shù)）；
曲線C的直角坐標方程為y²=8x
（2）將直線l的參數(shù)方程$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t}\\{y=1+\frac{1}{2}t}\end{array}}\right.$（t為參數(shù)）代入y²=8x中，得$（1+\frac{1}{2}t{）^2}=8（1+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t）$
整理得，${t^2}+4（1-4\sqrt{3}）t-28=0$
設(shè)點A，B對應(yīng)的參數(shù)分別為t₁，t₂，則${t_1}+{t_2}=4（4\sqrt{3}-1），{t_1}{t_2}=-28$
由t的幾何意義可知，|PA|•|PB|=|t₁||t₂|=|t₁t₂|=28

點評 本題考查了極坐標與直角坐標方程的互化、拋物線的參數(shù)方程與直線參數(shù)方程的應(yīng)用、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．