Question

19．△ABC中，AB=6，AC=8，若$\overrightarrow{DB}$$+\overrightarrow{DC}$=0，則$\overrightarrow{AD}$$•\overrightarrow{BC}$=14．

Answer 1

分析 以AC所在直線為x軸，以A為坐標原點建立平面直角坐標系，則B在以A為圓心，6為半徑的圓上，設(shè)B（6cosθ，6sinθ），求出各向量的坐標，由$\overrightarrow{DB}$$+\overrightarrow{DC}$=0知D是BC的中點，故∴$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$），用坐標解出$\overrightarrow{AD}$$•\overrightarrow{BC}$．

解答 解：以AC所在直線為x軸，以A為坐標原點建立平面直角坐標系，則A（0，0），C（8，0），
∵AB=6，∴B在以A為圓心，6為半徑的圓上，設(shè)B（6cosθ，6sinθ），（θ≠0）．
∴$\overrightarrow{AB}$=（6cosθ，6sinθ），$\overrightarrow{AC}$=（8，0），$\overrightarrow{BC}$=（8-6cosθ，-6sinθ），
∵$\overrightarrow{DB}$$+\overrightarrow{DC}$=0，∴D是BC的中點，
∴$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$）=（3cosθ+4，3sinθ），
∴$\overrightarrow{AD}$$•\overrightarrow{BC}$=（3cosθ+4）（8-6cosθ）-18sin²θ=32-18cos²θ-18sin²θ=32-18=14．
故答案為：14．

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量積運算，畫出符合條件的圖形，建立坐標系是關(guān)鍵．