Question

設(shè)f（x）=2^x+

a

2x

-1（a為常數(shù)）
（1）當(dāng)a＜0時，證明f（x）在R上是增函數(shù)；
（2）當(dāng)a=0時，若函數(shù)y=g（x）的圖象與y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，求函數(shù)y=g（x）的解析式．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：本題（1）利用單調(diào)性的定義和已知指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可證明出f（x）在R上是增函數(shù)；（2）可利用圖象的對稱性，得到相應(yīng)的點(diǎn)的對稱，在原函數(shù)圖象上任取一點(diǎn)，利用代入法求出對稱的點(diǎn)的軌跡，即函數(shù)y=g（x）的解析式．

解答： 解：（1）當(dāng)a＜0時，
在R上任取兩個自變量的值x₁，x₂，且x₁＜x₂，
f（₂）-f（x₁）=2x2+

a

2x2

-1-（2x1+

a

2x1

-1）
=（2x2-2x1）+

a(2x1-2x2)

2x1•2x2

．
∵x₁＜x₂，
∴2x2＞2x1，2x2＞0，2x1＞0，2x1-2x2＜0．
又∵a＜0，
∴a（2x1-2x2）＞0，
∴f（₂）-f（x₁）＞0，
∴f（₂）＞f（x₁）．
∴當(dāng)a＜0時，f（x）在R上是增函數(shù)．
（2）當(dāng)a=0時，f（x）=2^x-1，
在y=f（x）的圖象上任了一點(diǎn)p（x₀，y₀），
記點(diǎn)p（x₀，y₀）關(guān)于直線x=1對稱的點(diǎn)為Q（x′，y′），
則有：

x0+x′=2 y0=y′

，
即

x0=2-x′ y0=y′

．
又∵y₀=2 x0-1，
∴y′=2^2-x′-1，
即y=2^2-x-1，
∴g（x）=2^2-x-1．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)單調(diào)性和奇偶性，本題有一定的知識面和運(yùn)算量，屬于中檔題．