Question

已知定義在區(qū)間（2，2]上的函數(shù)f（x）滿足f（x+2）=

4

f(x)+2

，當x∈[0，2]，f（x）=x，若g（x）=f（x）-mx-m有兩個不同零點，則實數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A、0＜m≤

  2

  3

  或-6-4

  2

  ＜m＜0
• B、0＜m≤

  2

  3

  或m＜-6+4

  2

• C、0＜m≤

  2

  3

  或m＜-6-4

  2

• D、0＜m≤

  2

  3

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)函數(shù)關(guān)系式求出f（x）的表達式，根據(jù)函數(shù)零點和方程之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的交點問題即可得到結(jié)論．

解答： 解：∵定義在區(qū)間（2，2]上的函數(shù)f（x）滿足f（x+2）=

4

f(x)+2

，
∴f（x）+2=

4

f(x+2)

，即f（x）=

4

f(x+2)

-2，
若-2≤x≤0，則0≤x+2≤2，
∴f（x+2）=x+2，
即此時f（x）=

4

f(x+2)

-2=

4

x+2

-2=

-2x

x+2

，（-2≤x≤0），
由g（x）=f（x）-mx-m=0得f（x）=mx+m，
設(shè)g（x）=mx+m=m（x+1），則g（x）過定點（-1，0），
作出函數(shù)f（x）和g（x）的圖象如圖：
若g（x）=f（x）-mx-m有兩個不同零點，
則等價為f（x）與g（x）有兩個不同的交點，
由圖象可知當g（x）過點A（2，2）時，滿足條件，此時3m=2，
解得m=

2

3

，∴當0＜m≤

2

3

時，滿足條件．
當直線g（x）與f（x）相切時，當直線在和f（x）=

-2x

x+2

，（-2≤x≤0）相切與垂直x軸之間時，也是兩個交點，
此時解得m＜-6-4

2

，
綜上0＜m≤

2

3

或m＜-6-4

2

，
故選：C

點評：本題主要考查函數(shù)零點個數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)和方程之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的交點個數(shù)問題是解決本題的關(guān)鍵．注意使用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想．