Question

16．已知函數(shù)f（x）=e^x-ax-1，（a為實數(shù)），g（x）=lnx-x
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求函數(shù)g（x）的極值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可．

解答 解：（1）由題意得f'（x）=e^x-a，
當(dāng)a≤0時，f'（x）＞0恒成立，函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增，
當(dāng)a＞0時，由f'（x）＞0可得x＞lna，由f'（x）＜0可得x＜lna．
故函數(shù)f（x）在（lna，+∞）上單調(diào)遞增，在（-∞，lna）上單調(diào)遞減．
（2）函數(shù)g（x）的定義域為$（{0，+∞}），g'（x）=\frac{1}{x}-1$．
由g'（x）＞0可得0＜x＜1；由g'（x）＜0可得x＞1．
所以函數(shù)g（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減．
故函數(shù)g（x）在x=1取得極大值，其極大值為ln1-1=-1．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．