Question

4．已知函數(shù)$f（x）=4x+\frac{a^2}{x}（{x＞0\;，\;\;x∈R}）$在x=2時取得最小值，則實數(shù)a=4．

Answer 1

分析 方法一：根據(jù)基本不等式的性質(zhì)，即可求得a的值；
方法二：由對勾函數(shù)f（x）=4x+$\frac{{a}^{2}}{x}$，x＞0，a²＞0，當(dāng)x=$\sqrt{\frac{{a}^{2}}{4}}$時，取最小值，則$\sqrt{\frac{{a}^{2}}{4}}$=2，即可求得a的值．

解答 解：方法一：由題意可知：x＞0，a²＞0，∴f（x）=4x+$\frac{{a}^{2}}{x}$≥2$\sqrt{4x×\frac{{a}^{2}}{x}}$=4a，
當(dāng)且僅當(dāng)4x=$\frac{{a}^{2}}{x}$，即x=$\frac{a}{2}$時取等號，
又∵f（x）在x=2時取得最小值，
∴$\frac{a}{2}$=2，解得a=4，
故答案為：4．
方法二：由對勾函數(shù)f（x）=4x+$\frac{{a}^{2}}{x}$，x＞0，a²＞0，當(dāng)x=$\sqrt{\frac{{a}^{2}}{4}}$時，取最小值，則$\sqrt{\frac{{a}^{2}}{4}}$=2，
∴a=4，
故答案為：4．

點評 本題考查對勾函數(shù)的性質(zhì)，基本不等式的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．