Question

14．如果實數(shù)x，y滿足等式（x一2）²+y²=1，嘗試分析以下式子是否有最值，如果有，最值是多少？
（1）$\frac{y}{x}$；
（2）x²+y²；
（3）x十y．

Answer 1

分析 （1）設k=$\frac{y}{x}$，則y=kx，代入（x-2）²+y²=1，整理可得（1+k²）x²-4x+3=0，利用△=16-12（1+k²）≥0，求出$\frac{y}{x}$的最值；
（2）根據(jù)題意，滿足（x-2）²+y²=1的點P（x，y）在以C（2，0）為圓心，半徑為1的圓上，而x²+y²=|OP|²．因此當P、O、C三點共線時，|OP|達到最大值或最小值．由此結(jié)合點到直線的距離公式，即可求出x²+y²的最大值和最小值；
（3）令x+y=t，得到動直線l：x+y-t=0，將直線l進行平移，當l與圓C：（x-2）²+y²=1相切時，t達到最大或最小值．由此結(jié)合點到直線的距離公式加以計算，即可得到t的最大值和最小值，從而求出x-y的最大值．

解答 解：（1）設k=$\frac{y}{x}$，則y=kx，
代入（x-2）²+y²=1，整理可得（1+k²）x²-4x+3=0，
∴△=16-12（1+k²）≥0，∴-$\frac{\sqrt{3}}{3}$≤k≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{y}{x}$的最大值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$，最小值為-$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
（2）滿足（x-2）²+y²=1的點P（x，y）在以C（2，0）為圓心，半徑為1的圓上
而x²+y²=|OP|²，
∵當P、O、C三點共線時，|OP|達到最大值或最小值
∴當圓C上的點P在OC延長線上時，|OP|的最大值為|OC|+1=3
得到x²+y²的最大值為9；
當圓C上的點P在線段OC上時，|OP|的最小值為|OC|-1=1
得到x²+y²的最小值為1．
綜上所述，x²+y²的最大值為9；最小值為1；
（3）令x+y=t，即x+y-t=0對應直線l
將直線l平移，當l與圓C：（x-2）²+y²=1相切時，t達到最大或最小值
由d=$\frac{|2-t|}{\sqrt{2}}$=1，得t=2±$\sqrt{2}$
∴t的最小值為2-$\sqrt{2}$，最大值為2+$\sqrt{2}$
綜上所述，可得x+y的最小值為2-$\sqrt{2}$，最大值為2+$\sqrt{2}$．

點評 本題給出滿足二次方程的實數(shù)x、y，求$\frac{y}{x}$、x²+y²和x+y的最值，著重考查了圓的標準方程、點到直線的距離公式和二元函數(shù)最值的求法等知識，屬于中檔題．