Question

函數(shù)y=f（x）對(duì)于任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）-1，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞1，并且f（3）=4．
（1）求證：f（x）是增函數(shù)．
（2）求f（x）在[1，2]上的最大值和最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專(zhuān)題：計(jì)算題,證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用函數(shù)單調(diào)性的定義，結(jié)合抽象函數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行證明；
（2）令x=y=1得f（2）=2f（1）-1，令x=2，y=1得，f（3）=f（1）+f（2）-1=4，求出f（1），f（2），再由單調(diào)性，即可得到最大值和最小值．

解答： （1）證明：在R上任取x₁，x₂，且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）-f（x₂-x₁+x₁）=f（x₁）-f（x₂-x₁）-f（x₁）+1=1-f（x₂-x₁），
∵x₂-x₁＞0，∴f（x₂-x₁）＞1，
故f（x₁）-f（x₂）＜0
即f（x₁）＜f（x₂）
則f（x）為R上的單調(diào)遞增函數(shù)．
（2）解：令x=y=1得f（2）=2f（1）-1，
令x=2，y=1得，f（3）=f（1）+f（2）-1=4，
則有3f（1）-2=4，即有f（1）=2，
即有f（2）=3．
由f（x）為R上的單調(diào)遞增函數(shù)，
則f（x）在[1，2]上的最大值為f（2）=3，最小值為f（1）=2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，以及利用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性，同時(shí)考查單調(diào)性的運(yùn)用求最值，綜合性較強(qiáng)．