Question

19．已知橢圓$E：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$內(nèi)有一點M（2，1），過M的兩條直線l₁，l₂分別與橢圓E交于A，C和B，D兩點，且滿足$\overrightarrow{AM}=λ\overrightarrow{MC}，\overrightarrow{BM}=λ\overrightarrow{MD}$（其中λ＞0，且λ≠1），若λ變化時，AB的斜率總為$-\frac{1}{2}$，則橢圓E的離心率為（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$

Answer 1

分析 由向量數(shù)量積的坐標運算及點差法作差求得$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$×$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$，代入即可求得a和b的關(guān)系，即可求得橢圓的離心率．

解答 解：設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）、C（x₃，y₃）、D（x₄，y₄），
由$\overrightarrow{AM}$=λ$\overrightarrow{MC}$，即（2-x₁，1-y₁）=λ（x₃-2，y₃-1），
則$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+λ{x}_{3}=2+2λ}\\{{y}_{1}+λ{y}_{3}=1+λ}\end{array}\right.$，同理可得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}+λ{x}_{4}=2+2λ}\\{{y}_{2}+λ{y}_{4}=1+λ}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}+λ（{x}_{3}+{x}_{4}）=4（1+λ）}\\{{y}_{1}+{y}_{2}+λ（{y}_{3}+{y}_{4}）=2（1+λ）}\end{array}\right.$，則2[（y₁+y₂）+λ（y₃+y₄）]=1[（x₁+x₂）+λ（x₃+x₄）]，
將點A，B的坐標代入橢圓方程作差可得：$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$×$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$，
即-$\frac{1}{2}$=-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$×$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$，則a²（y₁+y₂）=2b²（x₁+x₂）①，
同理可得：a²（y₃+y₄）=2b²（x₃+x₄）②，
①+②得：a²[（y₁+y₂）+（y₃+y₄）]=2b²[（x₁+x₂）+（x₃+x₄）]，
∴2[（y₁+y₂）+λ（y₃+y₄）]=1[（x₁+x₂）+λ（x₃+x₄）]，
∴$\frac{{a}^{2}}{2}$=$\frac{2^{2}}{1}$
則$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{4}$，
則橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故選D．

點評 本題考查橢圓的離心率的求法．考查向量坐標運算，考查計算能力，屬于中檔題．