Question

7．已知橢圓Γ：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$經(jīng)過點(diǎn)$E（{\sqrt{3}，\frac{1}{2}}）$，且離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
（1）求橢圓Γ的方程；
（2）直線l與圓O：x²+y²=b²相切于點(diǎn)M，且與橢圓Γ相交于不同的兩點(diǎn)A，B，求|AB|的最大值．

Answer 1

分析 （1）將E代入橢圓方程，根據(jù)橢圓的離心率公式，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；
（2）分類討論，當(dāng)直線l不垂直于x軸時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=kx+m，代入橢圓方程，由韋達(dá)定理及弦長公式求得丨AB丨，根據(jù)基本不等式的性質(zhì)即可求得丨AB丨的最大值．

解答 解：（1）將$E（{\sqrt{3}，\frac{1}{2}}）$代入橢圓方程，$\frac{3}{a^2}+\frac{1}{{4{b^2}}}=1$，
由橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{{a^2}-{b^2}}}}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
解得：a=2，b=1，
∴橢圓Γ的方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．
（2）當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)，由直線l與圓O：x²+y²=1相切，
可知直線l的方程為x=±1，易求$|{AB}|=\sqrt{3}$．
當(dāng)直線l不垂直于x軸時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=kx+m，
由直線l與圓O：x²+y²=1相切，得$\frac{|m|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=1$，即m²=k²+1，
將y=kx+m代入$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，整理得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則${x_1}+{x_2}=\frac{-8km}{{1+4{k^2}}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{4{m^2}-4}}{{1+4{k^2}}}$，
$|{AB}|=\sqrt{1+{k^2}}|{{x_1}-{x_2}}|=\sqrt{1+{k^2}}\sqrt{{{（{{x_1}+{x_2}}）}^2}-4{x_1}{x_2}}$=$\sqrt{1+{k^2}}\sqrt{{{（{\frac{-8km}{{1+4{k^2}}}}）}^2}-\frac{{16{m^2}-16}}{{1+4{k^2}}}}=4\sqrt{1+{k^2}}\frac{{\sqrt{1+4{k^2}-{m^2}}}}{{1+4{k^2}}}$，
又因?yàn)閙²=k²+1，
所以$|{AB}|=\frac{{4\sqrt{3}|k|\sqrt{{k^2}+1}}}{{1+4{k^2}}}≤\frac{{2（{3{k^2}+{k^2}+1}）}}{{1+4{k^2}}}=2$，
當(dāng)且僅當(dāng)$\sqrt{3}|k|=\sqrt{{k^2}+1}$，即$k=±\frac{{\sqrt{2}}}{2}$時(shí)等號成立，
綜上所述，|AB|的最大值為2．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，弦長公式，考查分類討論思想，屬于中檔題．