Question

13．過(guò)雙曲線$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1$的右焦點(diǎn)做傾斜角為45°的弦AB．求：
（1）求弦AB的中點(diǎn)C到右焦點(diǎn)F₂的距離；
（2）求弦AB的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）求出直線AB的方程，代入雙曲線方程，求出C的坐標(biāo)，即可求弦AB的中點(diǎn)C到右焦點(diǎn)F₂的距離；
（2）利用弦長(zhǎng)公式求弦AB的長(zhǎng)．

解答 解：（1）雙曲線$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1$的右焦點(diǎn)（3，0），直線AB的方程為y=x-3．
代入雙曲線的方程，可得x²+24x-56=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴x₁+x₂=-24，x₁x₂=-56，
∴弦AB的中點(diǎn)C（-12，-15），
∴弦AB的中點(diǎn)C到右焦點(diǎn)F₂的距離$\sqrt{（3+12）^{2}+（0+15）^{2}}$=15$\sqrt{2}$；
（2）弦AB的長(zhǎng)=$\sqrt{1+1}$•$\sqrt{（-24）^{2}-4×（-56）}$=16$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的方程與性質(zhì)，考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．