Question

13．過雙曲線$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1$的右焦點做傾斜角為45°的弦AB．求：
（1）求弦AB的中點C到右焦點F₂的距離；
（2）求弦AB的長．

Answer 1

分析 （1）求出直線AB的方程，代入雙曲線方程，求出C的坐標，即可求弦AB的中點C到右焦點F₂的距離；
（2）利用弦長公式求弦AB的長．

解答 解：（1）雙曲線$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1$的右焦點（3，0），直線AB的方程為y=x-3．
代入雙曲線的方程，可得x²+24x-56=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴x₁+x₂=-24，x₁x₂=-56，
∴弦AB的中點C（-12，-15），
∴弦AB的中點C到右焦點F₂的距離$\sqrt{（3+12）^{2}+（0+15）^{2}}$=15$\sqrt{2}$；
（2）弦AB的長=$\sqrt{1+1}$•$\sqrt{（-24）^{2}-4×（-56）}$=16$\sqrt{5}$．

點評 本題考查雙曲線的方程與性質，考查直線與雙曲線的位置關系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．