Question

【題目】設(shè)函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)．

（Ⅰ）若曲線在軸上的截距為-1，且在點(diǎn)處的切線垂直于直線，求實(shí)數(shù)的值；

（Ⅱ）記的導(dǎo)函數(shù)為， 在區(qū)間上的最小值為，求的最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）， ；（Ⅱ） ．

【解析】試題分析:（Ⅰ）通過，解得．由，解得．

(Ⅱ)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),通過,利用新函數(shù)的導(dǎo)數(shù) ,利用(1)當(dāng), 在上的單調(diào)性,推出當(dāng)時,推出;當(dāng)時,通過導(dǎo)數(shù)求解 .

試題解析:（Ⅰ）∵曲線在軸上的截距為-1，

∴，解得．

又∵，且在點(diǎn)處的切線垂直于直線，

∴曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為

，解得．

∴， ．

（Ⅱ）∵，即， ．

由得．

（1）當(dāng)即時，在上， 在上是增函數(shù)，

所以；

（2）當(dāng)，即時，

∵令，在上解得，

∴在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)．

∴ ．

令，則， ， ，

所以在上是減函數(shù)， ，即；

（3）當(dāng)即時，在上， 在上是減函數(shù)，

所以．

綜上可得，即的最大值為．