Question

已知F₁、F₂是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的焦點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，且∠F₁PF₂=90°，則橢圓的離心率e的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：由條件知，以F₁F₂為直徑的圓與橢圓有交點(diǎn)，故有圓的半徑大于或等于短半軸的長(zhǎng)度．

解答：解：∵F₁、F₂是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的焦點(diǎn)，
P是橢圓上一點(diǎn)，且∠F₁PF₂=90°，
∴以F₁F₂為直徑的圓與橢圓有交點(diǎn)，圓的半徑r=c≥b，
∴e²=

a2-b2

a2

≥

a2-c2

a2

，2e²≥1，
∴e≥

2

2

，又0＜e＜1，
∴橢圓的離心率e的取值范圍是[

2

2

，1），
故答案為[

2

2

，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用．