Question

【題目】已知點，，動點滿足，記M的軌跡為曲線C．

（1）求曲線C的方程；

（2）過坐標原點O的直線l交C于P、Q兩點，點P在第一象限，軸，垂足為H．連結(jié)QH并延長交C于點R．

（i）設(shè)O到直線QH的距離為d．求d的取值范圍;

（ii）求面積的最大值及此時直線l的方程．

Answer 1

【答案】(1) ；(2) （i） （ii）面積最大值為，直線的方程為.

【解析】

（1）根據(jù)題意列出方程求解即可

（2）聯(lián)立直線與圓的方程，得出P、Q、H三點坐標，表示出QH直線方程，采用點到直線距離公式求解；利用圓的幾何關(guān)系，表示出三角形的底和高，再結(jié)合函數(shù)最值問題進行求解

（1）由及兩點距離公式，

有，

化簡整理得，．

所以曲線C的方程為；

（2）（i）設(shè)直線l的方程為；

將直線l的方程與圓C的方程聯(lián)立，消去y，

得（，解得

因此，，，

所以直線QH的方程為．

到直線QH的距離，

當時．，所以，

（ii）過O作于D，則D為QR中點，且由（i）知，

，，

又由，故的面積，

由，有，所以，

當且僅當時，等號成立，且此時由（i）有，即.

綜上，的面積最大值為的面積最大值為，且當面積最大時直線的方程為.