Question

7．設(shè)函數(shù)g（x）=e^x+3x-a（a∈R，e為自然對數(shù)底數(shù)），若存在x₀∈（-∞，1]，使g（g（x₀））=x₀，則實數(shù)a的取值范圍為（　�。�

• A． （-∞，$\sqrt{e}$+$\frac{1}{2}$]
• B． （-∞，e+2]
• C． （-∞，e+$\frac{1}{2}$]
• D． （-∞，$\sqrt{e}$+2]

Answer 1

分析 由g[g（x₀）]=x₀可得g（x₀）=g^-1（x₀），g（x）如果與其反函數(shù)相交，則交點一定在直線y=x上，故有g(shù)（x₀）=x₀，可令h（x）=g（x）-x，由題意可得e^x+2x-a=0在（-∞，1]有解．求出h（x）的導(dǎo)數(shù)，判斷符號可得h（x）的單調(diào)性，即有h（x）的最大值，令其不小于0，可得a的范圍．

解答 解：由函數(shù)g（x）=e^x+3x-a的導(dǎo)數(shù)g′（x）=e^x+3＞0，
可得g（x）在R上遞增．
g[g（x₀）]=x₀可得g（x₀）=g^-1（x₀），
而g（x）如果與其反函數(shù)相交，則交點一定在直線y=x上，
故有g(shù)（x₀）=x₀，
可令h（x）=g（x）-x
由h（x）=e^x+2x-a=0在（-∞，1]有解．
∵h(yuǎn)′（x）=e^x+2，
∴h（x）在R上單調(diào)遞增．
∴h（x）_max=h（1）=e+2-a≥0即可，
∴a≤e+2．
故選：B．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求單調(diào)性，考查轉(zhuǎn)化思想的運用，以及構(gòu)造函數(shù)法，考查運算能力，屬于中檔題．