Question

已知①對于任意的x∈R都有f（x+

2π

3

）=f（x）；
②對于任意的x∈R，都有f（

π

6

-x）=f（

π

6

+x）．
則其解析式可以是f（x）=

 

（寫出一個滿足條件的解析式即可）

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由題意可知f（x）是周期函數(shù)，T=

2π

3

且f（x）關(guān)于x=

π

6

對稱，從而可舉三角函數(shù)為例．

解答： 解：∵對于任意的x∈R都有f（x+

2π

3

）=f（x）；
∴f（x）是周期函數(shù)，T=

2π

3

，
又∵對于任意的x∈R，都有f（

π

6

-x）=f（

π

6

+x）．
∴f（x）關(guān)于x=

π

6

對稱，
故可以是三角函數(shù)，
其中ω=

2π

2π 3

=3；
故f（x）=cos（3（x-

π

6

））=sin3x；
故答案為：sin3x．

點(diǎn)評：本題考查了三角函數(shù)的定義及性質(zhì)應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．