Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的一條漸近線的傾斜角的余弦值為

3 10

10

，雙曲線上過(guò)一個(gè)焦點(diǎn)且垂直于實(shí)軸的弦長(zhǎng)為

2 3

3

，則該雙曲線的離心率等于（　�。�

• A、

  10

• B、

  3

• C、

  10

  3

• D、

  7

  3

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：根據(jù)雙曲線漸近線的傾斜角之間的關(guān)系求出a，b的關(guān)系，結(jié)合條件求出a，b，c即可．

解答： 解：雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的一條漸近線為y=

b

a

x，
∵一條漸近線的傾斜角的余弦值為

3 10

10

，不妨設(shè)cosα=

3 10

10

，
∴sinα=

10

10

，則tanα=

1

3

，
即tanα=

1

3

=

b

a

，即a=3b．
∵雙曲線上過(guò)一個(gè)焦點(diǎn)且垂直于實(shí)軸的弦長(zhǎng)為

2 3

3

，
∴雙曲線過(guò)點(diǎn)（c，

3

3

），
即

c2

a2

-

1 3

b2

=1，
解得b=

3

，a=3

3

，c=

30

，
則該雙曲線的離心率等于

c

a

=

30

3 3

=

10

3

，
故選：C

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查雙曲線的離心率的求解，根據(jù)條件建立a，b，c的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．