Question

1．已知某商品的進貨單價為1元/件，商戶甲往年以單價2元/件銷售該商品時，年銷量為1萬件，今年擬下調(diào)銷售單價以提高銷量增加收益．據(jù)估算，若今年的實際銷售單價為x元/件（1≤x≤2），則新增的年銷量P=4（2-x）²（萬件）．
（1）寫出今年商戶甲的收益f（x）（單位：萬元）與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）商戶甲今年采取降低單價提高銷量的營銷策略，是否能獲得比往年更大的收益（即比往年收益更多）？請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意可得：f（x）=[1+4（2-x）²]（x-1），1≤x≤2．
（2）甲往年以單價2元/件銷售該商品時，年銷量為1萬件，可得收益為1萬元．f′（x）=（2x-3）（6x-11），利用導數(shù)研究其單調(diào)性即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）由題意可得：f（x）=[1+4（2-x）²]（x-1），1≤x≤2．
（2）甲往年以單價2元/件銷售該商品時，年銷量為1萬件，可得收益為1萬元．
f′（x）=8（x-2）（x-1）+1+4（2-x）²=12x²-40x+33=（2x-3）（6x-11），
可得當x∈$[1，\frac{3}{2}）$時，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；當x∈$（\frac{3}{2}，\frac{11}{6}）$時，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；
當x∈$（\frac{11}{6}，2]$時，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．
∴x=$\frac{3}{2}$時，函數(shù)f（x）取得極大值，$f（\frac{3}{2}）$=1；又f（2）=1．
∴當x=$\frac{3}{2}$或x=2時，函數(shù)f（x）取得最大值1（萬元）．
因此商戶甲今年采取降低單價提高銷量的營銷策略，不能獲得比往年更大的收益．

點評 本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值及其實際應用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．