Question

11．如圖1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，BC=2（$\sqrt{2}$+1），DE⊥BC于E，DE=$\sqrt{10}$，現(xiàn)將梯形ABCD沿DE折成二面角B-DE-C（如圖2），使得AC與平面BCE所成的角為45°

（Ⅰ）求證：AD∥平面BCE；
（Ⅱ）求二面角A-CE-B的平面角的正切值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，將梯形ABCD沿DE折成二面角B-DE-C后，AD∥BE，再由線面平行的判定可得AD∥平面BCE；
（Ⅱ）在等腰梯形ABCD中，由DE⊥BC，可得折疊后，DE⊥BE，DE⊥CE，由線面垂直的判定可得DE⊥平面BCE，過點(diǎn)A作AF⊥BE，連接CF，則AF∥DE，得AF⊥平面BCE，得到∠ACF即為使得AC與平面BCE所成的角為45°．求得CE=$\sqrt{2}$．可得△ACF為等腰直角三角形，在△CEF中，由余弦定理可得：cos∠ECF，進(jìn)一步求得sin∠ECF，過點(diǎn)F作FM⊥CE的延長線于M，連接AM，可得AM⊥CE，得∠AMF即為二面角A-CE-B的平面角，求解直角三角形得答案．

解答 解：（Ⅰ）證明：∵在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，
∴將梯形ABCD沿DE折成二面角B-DE-C后，AD∥BE，
又∵BE?平面BDE，AD不在平面BDE內(nèi)，
∴AD∥平面BCE．
（Ⅱ）如圖，
∵在等腰梯形ABCD中，DE⊥BC，
∴折疊后，有DE⊥BE，DE⊥CE，
又DE∩BE=E，∴DE⊥平面BCE，
過點(diǎn)A作AF⊥BE，連接CF，則AF∥DE，
∴AF⊥平面BCE，
∴∠ACF即為使得AC與平面BCE所成的角為45°．
∵AD=2，BC=2（$\sqrt{2}$+1），
∴CE=$\frac{1}{2}$（BC-AD）=$\sqrt{2}$．
∴△ACF為等腰直角三角形，
∴CF=AE=DE=$\sqrt{10}$，EF=AD=2．
在△CEF中，由余弦定理可得：
cos∠ECF=$\frac{C{F}^{2}+C{E}^{2}-E{F}^{2}}{2CF•CE}=\frac{10+2-4}{2×\sqrt{10}×\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
∴sin$∠ECF=\frac{\sqrt{5}}{5}$．
過點(diǎn)F作FM⊥CE的延長線于M，連接AM，
則AM⊥CE，
∴∠AMF即為二面角A-CE-B的平面角，
∴tan∠AMF=$\frac{AF}{FM}=\frac{\sqrt{10}}{CF•sin∠FCE}=\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}×\frac{\sqrt{5}}{5}}=\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，考查空間想象能力、推理論證能力及運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想及應(yīng)用意識(shí)，是中檔題．