Question

【題目】(本小題滿分分)已知圓有以下性質(zhì)：

①過圓上一點的圓的切線方程是.

②若為圓外一點，過作圓的兩條切線，切點分別為，則直線的方程為.

③若不在坐標軸上的點為圓外一點，過作圓的兩條切線，切點分別為，則垂直，即，且平分線段.

(1)類比上述有關(guān)結(jié)論，猜想過橢圓上一點的切線方程(不要求證明)；

(2)過橢圓外一點作兩直線，與橢圓相切于兩點，求過兩點的直線方程；

(3)若過橢圓外一點（不在坐標軸上）作兩直線，與橢圓相切于兩點，求證：為定值，且平分線段.

Answer 1

【答案】（1）

（2）

(3)見解析.

【解析】分析：（1）根據(jù)類比推理可得結(jié)論．（2）設(shè)，結(jié)合（1）可得過點的切線方程，根據(jù)兩切線都過點可得和，再結(jié)合過兩點的直線唯一的特點可得直線的方程是．（3）先由直線的方程可得，又，所以．令線段的中點為，由點差法得，于是，故，所以三點共線，從而得到平分線段．

詳解：（1）過橢圓上一點的切線方程是．

（2）設(shè)．

由（1）得過橢圓上點的切線的方程是，

∵直線過點，

∴，

同理．

又過兩點A,B的直線是唯一的，

∴直線的方程是．

（3）由（2）知過兩點的直線方程是，

∴，

又，

∴為定值．

設(shè)線段的中點為，則．

∵點均在橢圓上，

∴①，②

②－①得，

即，

∴，

又

∴，

又，

∴，

∴三點共線，

∴平分線段．