Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的離心率

3

2

，且過焦點與長軸垂直的弦長為1．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）直線l與橢圓C相交于A，B兩點，且|AB|=

3

2

，O為坐標原點，是否存在直線l，使得△OAB面積最大？如果存在，求出直線l的方程；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）利用橢圓的離心率

3

2

，且過焦點與長軸垂直的弦長為1，可得

c

a

=

3

2

，

2b2

a

=1，求出a，b，即可求橢圓的方程；
（Ⅱ）分類討論，斜率存在時，設(shè)AB：y=kx+m，代入橢圓方程，利用韋達定理，求出三角形的面積，利用基本不等式，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）∵橢圓的離心率

3

2

，且過焦點與長軸垂直的弦長為1，
∴

c

a

=

3

2

，

2b2

a

=1，
∴a=2，b=1，
∴橢圓的方程為

x2

4

+y2=1；
（Ⅱ）設(shè)存在直線l，斜率存在時，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
設(shè)AB：y=kx+m，代入橢圓方程可得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0
則x₁+x₂=-

8km

1+4k2

，x₁x₂=

4(m2-1)

1+4k2

，
∴|AB|=

1+k2

|x₁-x₂|=

1+k2

•

16(1+4k2-m2) (1+4k2)2

=

3

2

，
∴m²=1+4k²-

9

64

•

(1+4k2)2

1+k2

，
原點O到AB的距離為h=

|m|

1+k2

，
∵S_△OAB=

1

2

|AB|h，
∴S_△OAB²=

9

16

•

m2

1+k2

=

9

16

[

1+4k2

1+k2

-

9

64

•

(1+4k2)2

(1+k2)2

]，
令t=

1+4k2

1+k2

=4-

3

1+k2

∈[1，4），
∴S_△OAB²=

9

16

[

16

9

-

9

64

（t-

32

9

）²]，
∴t=

32

9

，即k=±

23

2

時，S的最大值為1，
直線l的斜率不存在時，S=

3 7

8

＜1，
∴存在滿足條件的直線l，方程為y=

23

2

x-2

3

或y=-

23

2

x+2

3

．

點評：本題考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查分類討論的數(shù)學思想，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．