Question

已知函數(shù)f（x）=ax⁴+bx³，（其中a、b為常數(shù)），當(dāng)x=

3

4

時(shí)，取得極值-

27

256

．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（x）在（k，﹢∞﹚上為增函數(shù)，求k的最小值；
（3）設(shè)點(diǎn)M（-

1

2

，-p²+pq+

1

8

﹚，對(duì)任意p∈[1，

9

8

]，過(guò)點(diǎn)M總可以做函數(shù)y=f（x）圖象的四條切線，求q的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由f′（

3

4

）=0和f（

3

4

）=-

27

256

解得a和b的值，從而求出f（x）的解析式；
（2）由f（x）在（k，﹢∞﹚上為增函數(shù)，得f′（x）≥0恒成立，求出k的取值范圍；
（3）由題意，過(guò)M點(diǎn)有4條切線，得到切線斜率切線過(guò)MP的斜率

x04-x03+p2-pq- 1 8

x0+ 1 2

=x02(4x0-3)，整理得到關(guān)于x₀的四次方程，還原為t的二次方程，構(gòu)造二次函數(shù)，使得有兩個(gè)正的零點(diǎn)，得到關(guān)于p，q的不等式，因?yàn)閜的范圍已知，分離變量，求q的范圍．

解答： 解：（1）f′（x）=4ax³+3bx²=（4ax+3b）x²
∴

f′( 3 4 )= 9 16 (4a× 3 4 +3b)=0 f( 3 4 )=a×( 3 4 )4+b×( 3 4 )3=- 27 256

化簡(jiǎn)得

a+b=0 3a+4b=-1

解得a=1，b=-1，
∴f（x）=x⁴-x³；
（2）f′（x）=4x³-3x²=x²（4x-3），
當(dāng)x＞

3

4

時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，當(dāng)x＜

3

4

時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
∵f（x）在（k，﹢∞﹚上為增函數(shù)，∴k≥

3

4

，即k的取值范圍為[

3

4

，+∞）；
（3）由（1）知：f（x）=x⁴-x³ ，f′（x）=4x³-3x²，設(shè)切點(diǎn)為P（x0，x04-x03），切線過(guò)MP的斜率

x04-x03+p2-pq- 1 8

x0+ 1 2

=x02(4x0-3)，
整理得3x04-

3

2

x02=p2-pq-

1

8

，
設(shè)t=x02，則上式為3t2-

3

2

t=p2-pq-

1

8

，
設(shè)f（t）=3t2-

3

2

t-(p2-pq-

1

8

)，
∵對(duì)任意p∈[1，

9

8

]，過(guò)點(diǎn)M總可以做函數(shù)y=f（x）圖象的四條切線，
∴f（t）=0有兩個(gè)正根，
∴

p2-pq- 1 8 ＞0 △= 9 4 -12(p2-pq- 1 8 )

，
整理得p-

1

8p

＜q＜p+

1

16q

，p∈[1，

9

8

]，

73

72

＜q＜

17

16

，

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值、單調(diào)區(qū)間以及切線方程等知識(shí)的綜合運(yùn)用，屬于難題．