Question

18．已知函數f（x）=x²-2x（x∈[-1，2]）的值域為集合A，g（x）=ax+2（x∈[-1，2]）的值域為集合B．若A⊆B，則實數a的取值范圍是$（-∞，-\frac{3}{2}]∪[3，+∞）$．

Answer 1

分析 求解出集合A，B，根據A⊆B，建立條件關系即可求實數a的取值范圍．

解答 解：函數f（x）=x²-2x（x∈[-1，2]）
開口向上，對稱軸為x=1，
x∈[-1，2]，
函數f（x）的值域為[-1，3]．
故得集合A=[-1，3]．
函數g（x）=ax+2（x∈[-1，2]）
當a=0時，值域為{2}，即集合B={2}
當a＞0時，值域為[2-a，2a+2]，即集合B=[2-a，2a+2]，
當a＜0時，值域為[2a+2，-a+2]，即集合B=[2a+2，-a+2]，
∵A⊆B，
當a=0時，集合B={2}，不滿足題意．
當a＞0時，要使A⊆B成立，則需$\left\{\begin{array}{l}{2-a≤-1}\\{2a+2≥3}\end{array}\right.$，
解得：a≥3．
當a＜0時，要使A⊆B成立，則需$\left\{\begin{array}{l}{2a+2≤-1}\\{2-a≥3}\end{array}\right.$
解得：a$≤-\frac{3}{2}$
綜上所得實數a的取值范圍是$（-∞，-\frac{3}{2}]∪[3，+∞）$．

點評 本題主要考查集合的基本運算，值域的求法和討論的思想．屬于中檔題．