Question

9．已知兩個(gè)無窮數(shù)列{a_n}，{b_n}分別滿足$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}\\{|{a}_{n+1}-{a}_{n}|=2}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{_{1}=-1}\\{|\frac{_{n+1}}{_{n}}|=2}\end{array}\right.$，其中n∈N^*，設(shè)數(shù)列{a_n}，{b_n}的前n項(xiàng)和分別為S_n、T_n．
（1）若數(shù)列{a_n}，{b_n}都為遞增數(shù)列，求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式．
（2）若數(shù)列{c_n}滿足：存在唯一的正整數(shù)k（k≥2），使得c_k＜c_k-1，稱數(shù)列{c_n}為“k墜點(diǎn)數(shù)列”．
①若數(shù)列{a_n}為“5墜點(diǎn)數(shù)列”，求S_n．
②若數(shù)列{a_n}為“p墜點(diǎn)數(shù)列”，數(shù)列{b_n}為“q墜點(diǎn)數(shù)列”，是否存在正整數(shù)m，使得S_m+1=T_m，若存在，求m的最大值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）由兩數(shù)列為遞增數(shù)列，結(jié)合遞推式可得a_n+1-a_n=2，b₂=-2b₁，b_n+2=2b_n+1，n∈N^*，由此可得數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，數(shù)列{b_n}從第二項(xiàng)起構(gòu)成等比數(shù)列，然后利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得答案；
（2）①根據(jù)題目條件判斷：數(shù)列{a_n}必為1，3，5，7，5，7，9，11，…，即前4項(xiàng)為首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，從第5項(xiàng)開始為首項(xiàng)5，公差為2的等差數(shù)列，求解S_n即可．
②運(yùn)用數(shù)列{b_n}為“墜點(diǎn)數(shù)列”且b₁=-1，綜合判斷數(shù)列{b_n}中有且只有兩個(gè)負(fù)項(xiàng)．假設(shè)存在正整數(shù)m，使得S_m+1=T_m，顯然m≠1，且T_m為奇數(shù)，而{a_n}中各項(xiàng)均為奇數(shù)，可得m必為偶數(shù)． 再運(yùn)用不等式證明m≤6，求出數(shù)列即可．

解答 解：（1）∵數(shù)列{a_n}，{b_n}都為遞增數(shù)列，
∴由遞推式可得a_n+1-a_n=2，b₂=-2b₁，b_n+2=2b_n+1，n∈N^*，
則數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，數(shù)列{b_n}從第二項(xiàng)起構(gòu)成等比數(shù)列．
∴a_n=2n-1，$_{n}=\left\{\begin{array}{l}{-1，n=1}\\{{2}^{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$；                            
（2）①∵數(shù)列{a_n}滿足：存在唯一的正整數(shù)k=5，使得a_k＜a_k-1，且|a_n+1-a_n|=2，
∴數(shù)列{a_n}必為1，3，5，7，5，7，9，11，…，即前4項(xiàng)為首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，從第5項(xiàng)開始為首項(xiàng)5，公差為2的等差數(shù)列，
故${S}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{{n}^{2}，n≤4}\\{{n}^{2}-4n+16，n≥5}\end{array}\right.$；                                   
②∵$|\frac{_{n+1}}{_{n}}|=2$，即b_n+1=±2b_n，
∴|b_n|=2^n-1，
而數(shù)列{b_n}為“墜點(diǎn)數(shù)列”且b₁=-1，
∴數(shù)列{b_n}中有且只有兩個(gè)負(fù)項(xiàng)．
假設(shè)存在正整數(shù)m，使得S_m+1=T_m，顯然m≠1，且T_m為奇數(shù)，而{a_n}中各項(xiàng)均為奇數(shù)，
∴m必為偶數(shù)．                                                
首先證明：m≤6．
若m＞7，數(shù)列{a_n}中（S_m+1）_max=1+3+…+（2m+1）=（m+1）²，
而數(shù)列{b_n}中，b_m必然為正，否則${T}_{m}=-1+_{2}+…+（-{2}^{m-1}）$≤-1+2¹+…+2^m-2+（-2^m-1）=-3＜0，顯然矛盾；
∴$（{T}_{m}）_{min}=-1+{2}^{1}+…+{2}^{m-3}+（-{2}^{m-2}）+{2}^{m-1}$=2^m-1-3．
設(shè)${c}_{m}={2}^{m-1}-（m+1）^{2}-3$，
設(shè)$jznjpjp_{m}={c}_{m+1}-{c}_{m}={2}^{m-1}-2m-3$，
而$jbftd7j_{m+1}-9rtjdfj_{m}={2}^{m-1}-2＞$0（m＞7），
∴{d_m}（m＞7）為增數(shù)列，且d₇＞0，則{c_m}（m＞7）為增數(shù)列，而c₈＞0，
∴（T_m）_min＞（S_m）_max，
即m≤6．                                                     
當(dāng)m=6時(shí)，構(gòu)造：{a_n}為1，3，1，3，5，7，9，…，{b_n}為-1，2，4，8，-16，32，64，…
此時(shí)p=2，q=4．
∴m_max=6，對(duì)應(yīng)的p=2，q=4．

點(diǎn)評(píng) 本題是新定義題，考查了數(shù)列遞推式，綜合考查學(xué)生運(yùn)用新定義求解數(shù)列的問題，考查了分析問題和解決問題的能力，屬于難題．