Question

如圖，已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC；M．N．P分別是棱BC．CC₁．B₁C₁的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：PQ∥平面ANB₁；
（Ⅱ）求證：平面AMN⊥平面AMB₁．

Answer 1

（本小題滿分12分）
證明：（Ⅰ）取B₁N中點(diǎn)S連PS則PS∥CC₁，QA∥CC₁∴PS∥QA，
且PS=CC₁=QA∴PSAQ為
平行四邊形，…（3分）
∴PQ∥AS，又PQ?平面ANB₁，AS?平面ANB₁，
∴PQ∥平面ANB₁…（6分）
（Ⅱ）∵AB=AC，M是棱BC的中點(diǎn)，
∴AM⊥BC
又三棱柱為直三棱柱，∴CC₁⊥平面ABC，CC₁⊥AM
∴AM⊥平面CBB₁C₁，AM⊥MN…（9分）
在直角△CMN和△BMB₁中，，
直角△CMN∽直角△BB₁M
∴MN⊥MB₁
又AM∩MB₁=M，∴MN⊥平面AMB₁；
∴平面AMN⊥平面AMB₁．…（12分）
分析：（Ⅰ）取B₁N中點(diǎn)S連PS，證明PQ∥AS，通過PQ?平面ANB₁，AS?平面ANB₁，說明PQ∥平面ANB₁．
（Ⅱ）證明AM⊥BC，AM⊥MN，在直角△CMN和△BMB₁中，證明MN⊥MB₁，MN⊥平面AMB₁即可證明平面AMN⊥平面AMB₁．
點(diǎn)評：本題考查直線與平面平行的判定定理，平面與平面垂直的證明，考查空間想象能力，邏輯推理能力．